Кинчев стал вокалистом «Алисы» в 1984 году. Вместе с группой он записал такие альбомы, как «Энергия», «Блок ада», «Шестой лесничий», «Черная метка», «Солнцеворот» и другие. Последней на данный момент пластинкой коллектива является «Цирк», который вышел в 2014 году.
Изначально называвший себя анархистом Кинчев в начале 1990-х принял православие и резко изменил свои гражданские взгляды. С 2010 года он входит в Патриарший совет по культуре. Музыкант — лауреат многочисленных премий и наград, в том числе призы «Овация» и «Чартова дюжина».