Музыкант родился 9 ноября 1954 года в Риге и учился в 1-й Рижской детской музыкальной школе. Согласно архивам LETA, Зариньш сначала начал играть на гитаре в школьном ансамбле, но потом бросил школу, работал на заводе и играл на гитаре в ансамбле клуба Трамвайно-троллейбусного управления.
После службы в армии Зариньш присоединился к ансамблю Бауского дома культуры, который впервые выступил в 1979 году на Скайсткалнском зеленом балу под названием "Dālderi". Группа успешно выступала в программе Латвийского телевидения "Varavīksne", став популярной с песней "Dzeltenie aizkari", которая приняла участие в опросе "Mikrofons" в 1981 году.
В 1983 году Dālderi распустились, а в 1996 году Зариньш создал группу кантри-музыки "Dakota". Днем рождения группы стало 29 ноября 1996 года, когда группа выступила под этим именем в вильнюсском музыкальном ночном клубе Langas.
Летом 2002 года вышел альбом "Klaidonis fabas", который вошел в пятерку лучших в номинации "Лучший рок-альбом года" Латвийской музыкальной премии 2003 года.
В 2013 году Зариньш был занесен на Аллею славы латвийских музыкантов в Лиепае.
"В этот момент невообразимой утраты мы благодарны Эдвину за его любовь к музыке, которой он делился со своими слушателями - спасибо за незабываемые концерты и песни, которые будут жить вечно". "Центр культуры Бауска" пишет на Facebook.